Feeds:
Bài viết
Bình luận

Archive for Tháng Tám, 2012

Sau khi  http://library.nu/ (tiền thân là http://gigapedia.org/) bị hội đồng các nhà xuất bản khai tử, tình hình đọc sách của   dân tình sinh viên mình thêm phần gian nan, khi mà túi tiền luôn trong tình trạng… không có mà cháy 😀  Để giúp mọi người phần nào nguôi “nỗi nhớ” Giga, dưới đây mình giới thiệu một số trang download tài liệu Toán có thế xem là tốt nhất hiện nay:

1. http://gen.lib.rus.ec/  hoặc trang gốc tiếng Nga  http://libgen.info/.

Update: Nếu không vào được các sites trên, vào một trong các sites thay thế sau: libgen.io,  http://libgen.in/

2. http://en.bookfi.org/  hơi ít sách hơn một chút, nhưng dễ tìm, dễ down.

Update: http://b-ok.org/  hoặc http://bookzz.org/

3. http://www.filecrop.com/ thực chất trang này chỉ dẫn link tài liệu từ tất cả các nơi mà nó thu thập được.

4. http://bib.tiera.ru/  tiếng Nga.

5. http://ishare.iask.sina.com.cn/  tiếng Tàu bà con ạ, nhưng có sách hay thì mình cứ down thôi 😀

updating…

Read Full Post »

Thỉnh thoảng, một vài người bạn nhắn tin hoặc email cho 59clc nhờ giải một số bài toán sơ cấp. Entry này được tạo ra nhằm mục đích post lên đây những bài toán đó.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) \cos A+\cos B+\cos C \le \dfrac3{2} (1)

b) \sin A+\sin B+\sin C \le \dfrac{3}2  (2)

Giải. a) Biến đổi tương đương,

(1)\Leftrightarrow 2(1-2\sin^2\frac{A}2)+4\cos\frac{B+C}2\cos\frac{B-C}2 \le 3

\Leftrightarrow (2\sin\frac{A}2-1)^2+4\sin\frac{A}2(1-\cos\frac{B-C}2) \ge 0

luôn đúng.

b) Cách 1. Ta có

\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}2 \le 2\sin\frac{A+B}2

\sin C+\sin\frac{\pi}3

=2\sin\frac{C+\pi/3}{2}\cos\frac{C-\pi/3}2

\le 2\sin\frac{C+\pi/3}2

Suy ra

\sin A+\sin B+\sin C+\sin\frac{\pi}3

\le 2\sin\frac{A+B}2+2\sin\frac{C+\pi/3}{2}

\le 2.2\sin\frac{A+B+C+\pi/3}2=4\sin\frac{\pi}3 \Rightarrow đpcm.

Cách 2. Sử dụng BĐT Cauchy:

VT=\sin A+\sin B+\sin(A+B)=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\sin B\cos A

=\dfrac2{\sqrt3}(\sin A.\frac{\sqrt3}2+\sin B.\frac{\sqrt3}2)+\dfrac1{\sqrt3}(\sin A.\sqrt3\cos B+\sin B.\sqrt3\cos A)

\le \dfrac1{\sqrt3}(\sin^2 A+\sin^2 B+\frac{3}2)+\dfrac1{2\sqrt3}(\sin^2 A+3\cos^2 B+\sin^2 B+3\cos^2 A)

=\dfrac{3\sqrt3}2.

Remark. Trên đây là 2 trong số 9 BĐT cơ bản trong tam giác. Các bạn nếu muốn làm những GV tương lai tốt thì ít nhất cũng nên biết 7 BĐT còn lại!

Bài 2. Giả sử phương trình x^2+ax+b=0 có nghiệm x_0. Chứng minh rằng x_0^2<1+a^2+b^2. (2)

Lời giải. Nghiệm của PT đã cho là

x_0=\dfrac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}2 \le \dfrac{\sqrt{(1+1)(a^2+a^2-4b)}}2=\sqrt{a^2-2b},      (BĐT Bunyakovsky)

Bởi vậy, để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh

a^2-2b\le 1+a^2+b^2 \iff (b+1)^2\ge0

luôn đúng. Dễ thấy đẳng thức ko thể xảy ra.

Bài 3. Cho P(x)=ax^2+bx+c thỏa mãn |P(1)|\le1 |P(-1)|\le1 và  |P(0)|\le1. Chứng minh rằng  |P(x)|\le\frac5{4}, \forall |x|\le1.

Giải. Nếu a=0 thì hiển nhiên |P(x)|\leq 1 < \frac{5}4.

Nếu a\neq 0, P(x) là một parabol có đỉnh tại x_0 = -\frac b{2a}.
Nếu |x_0| \geq 1 thì P(x)  đơn điệu trên [0,1], dẫn đến |P(x)|\leq max(|P(1)|,|P(-1)|)\leq 1 < \frac{5}4

Nếu |x_0| < 1, thế thì |P(x)|\leq max (|P(1)|,|P-1)|,|P(x_0)|).
|P(1)|\leq 1 \Longrightarrow -1\leq a + b + c \leq 1 ;   và P(-1)\le 1 \Longrightarrow -1\le a-b+c\le 1

Rút ra -1 \leq b \leq 1, hay |b|\leq 1.

Nếu |P(x_0)| > \frac{5}4.
|P(x_0)| = |P(-\frac b{2a})| = |c -\frac {b^2}{4a}| > \frac {5}4 \Longrightarrow 1-\frac {b^2}{4a}\geq c -\frac {b^2}{4a} > \frac{5}4 hay -1-\frac {b^2}{4a} < -c-\frac {b^2}{4a} < -\frac{5}4 \Longrightarrow -\frac{1}4 > \frac {b^2}{4a} hay \frac{b^2}{4a}>\frac1{4} , suy ra |a|<b^2\le 1.
P(x_0) =P(\frac b{2a}) =c-\frac {b^2}{4a}=c+a{x_0}^2 \Longrightarrow c =ax_0^2 +P(x_0)
|P(1)| = |a+b+c| =|a+2ax_0+ax_0^2 +P(x_0)|=|a(x_0 +1)^2 +P(x_0)|\le 1 \Longrightarrow |P(x_0)|\leq 1+|a|(x_0 +1)^2\leq 1 +(x_0 +1)^2

Tương tự cho |P(-1)| để có |P(x_0)|\leq 1+(x_0 -1)^2.

Do đó |P(x_0)|\leq min ( 1 +(x_0-1)^2,1 +(x_0 +1)^2) ,  với -1 < x_0 < 1.

Dẫn đến |P(x_0)|\leq 1 + (\frac{1}2)^2 =\frac{5}4, mâu thuẫn.

Đpcm.

Read Full Post »

1. S. Lang, Real and Functional Analysis, 3rd edition, Springer 1993.

Real and Functional analysis-S.Lang

2. W. Rudin, Functional Analysis, 2nd edition, 1991.

Functional Analysis _ Rudin 2th

3. K. Yosida, Functional Analysis, 6th edition, Springer 1980.

http://www.mediafire.com/?nkt86f8u2ka9cmw

4. DongPhD, Bài tập Giải tích hàm

Bai tap Giai tich Ham

5. G.Lacombe, P.Massat, Analyse fonctionnelle, Exercices cornges, Paris 1999.

http://www.mediafire.com/?87781tcz5n0m329

Cuốn này do TS. Phùng Văn Mạnh giới thiệu. Xin cảm ơn thầy.

còn nữa…

Read Full Post »