Feeds:
Bài viết
Bình luận

Posts Tagged ‘tích phân’

Đề thi giữa kì Độ đo-Tích phân (K59CLC-ĐHSPHN)

Câu 1. Cho A là tập đo được Lebesgue thuộc đoạn [0,1] thỏa mãn \mu(A\cap(a,b))\le\dfrac{b-a}2 với mọi tập mở (a,b). Chứng minh rằng \mu(A)=0.

Câu 2. Cho \{A_n\} là một dãy tập đo được Lebesgue thuộc đoạn [0,1], thỏa mãn \lim \mu(A_n)=1. Chứng minh rằng, với mọi \epsilon>0, tồn tại dãy con \{A_{k_n}\}\subset \{A_n\} sao cho \mu\left ( \bigcap_{n=1}^{+\infty} A_{k_n} \right )>1-\epsilon

Câu 3. Cho \mu là độ đo Lebesgue trên [0,1]. Với \epsilon>0, chỉ ra một tập mở U_{\epsilon} trù mật trong [0,1] sao cho \mu(U_{\epsilon})<\epsilon.

Câu 4. Cho tập A đo được với độ đo hữu hạn, nhận giá trị trong \mathbb R, hội tụ hầu khắp nơi trên A tới f. Với \epsilon>0, chứng minh rằng \lim \left ( \bigcup_{k=n}^{+\infty}\{x\in A: |f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon \} \right )=0

Câu 5. Cho f:A\to [0,1]  là hàm đo được. Chứng minh rằng: hoặc tồn tại tập E \subset A đo được sao cho f=\chi_E hầu khắp nơi, hoặc tồn tại c\in\left (0, \frac1{2}\right ) sao cho \mu\left (\{x\in A: c< f(x) < 1-c \} \right )>0 

 

Hướng dẫn

Câu 1. Giả sử phản chứng, tồn tại a>0 để \mu(A)>a.

Theo tiểu chuẩn đo được (L), tồn tại tập mở G\supset A để \mu(G \setminus A)<a/2. Viết G dưới dạng hợp của các khoảng mở rời nhau: G=\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n, ta có

\mu(G)= \mu(G \setminus A) + \mu(A) <a/2+ \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} (G_n \setminus \cap A)) = a/2+\sum_{n=1}{\infty} \mu(G_n  \setminus \cap A) \le a/2+\frac1{2}.\sum_{n=1}{\infty} \mu(G_n)  =a/2+\frac{\mu(G)}2

Suy ra \mu(G)<a, mâu thuẫn.

Câu 2. Với mọi \epsilon, do \lim \mu(A_n)=1 nên tồn tại dãy con (A_{k_n}) \subset (A_n) để 1-\mu(A_{k_n})<\frac{\epsilon}{2^n}.

Ta có

1-\mu(\bigcap A_{k_n})=\mu([0,1]\setminus \bigcap A_{k_n})=\mu(\bigcup [0,1]\setminus A_{k_n})

\le \sum \mu([0,1]\setminus A_{k_n})=\sum(1-\mu(A_{k_n}))<\epsilon

Suy ra đpcm.

Câu 3.  Chọn tập U_{\epsilon}=\{ \bigcup ((x-\epsilon/2^n,x+\epsilon/2^n)\cap [0,1]): x\in \mathbb Q \cap [0,1] \}

Câu 4.  Đặt  A_n = \bigcup_{k=n}^{+\infty}\{x\in A: |f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon \} và D  là tập các điểm thuộc A mà f_n không hội tụ về f.  Thế thì \mu (D)=0 và \{A_n\} là dãy giảm các tập đo được. Do đó

\mu(A_n)=\mu(\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n) \le \mu (D) =0

Kết hợp với định nghĩa hội tụ theo độ đo suy ra đpcm.  Các bạn có thể xem thêm kĩ thuật chứng minh ở Định lý 3.2.2 [1, p.177].

Câu 5. Đặt B_n=\{x\in A: 1/n<f(x)<1-1/n\}. Giả sử phản chứng, suy ra \mu(B_n)=0.

Đặt E=\{x\in A: f(x)=1 \}E'=\{x\in A: f(x)=0 \}

Thế thì với B=A\setminus (E\cup E')\mu(B)= \mu(\bigcup B_n)=0

Từ đó  f=\chi_E h.k.n.

 

Tài liệu tham khảo

[1] N.V.Khuê (cb), Cơ sở Lý thuyết hàm và Giải tích hàm, tập 1, NXB GD 2001.

Cảm ơn bạn V.T.Hải đã giúp đỡ tác giả hoàn thiện phần lời giải.

Read Full Post »